文章来源：《科学技术哲学研究》2013年第5期
康仕慧，张汉静
(bat365官网登录入口科学技术哲学研究中心，太原030006)
摘要:数学本质的先物结构主义解释主张“数学是研究结构的科学，像数、集合、点这些作为个体的数学对象是数学结构中的位置，结构先于对象和例示它的系统存在”。通过考察先物结构主义解释产生的数学背景和哲学动机，分析先物结构主义对数学本质的解释及对其实在性的辩护，探讨先物结构主义解释存在的困境，得出:按照数学的哲学说明需要符合数学实践的原则，数学本质的先物结构主义解释并不成功。
关键词:数学本质;先物结构主义;数学实在论
数学的研究对象是什么，其本质是作为个体的数学对象还是数学结构?关于数学的这个本体论难题，自贝纳塞拉夫(PaulBenacerraf)1965年发表“数不能是什么”一文以来，就一直占据着当代数学哲学论争的核心。随着数学中群论、拓扑学、范畴论等新领域的出现，现代数学逐渐向公理化方向迈进，作为个体的对象及其特征不再像以往那么明显，由公理刻画的抽象结构在数学中趋于主要位置。因此，数学本质的对象柏拉图主义解释不再适应这种发展的要求，代之而起的是结构主义解释。数学本质的“先物结构主义”解释便是其中之一。
一 结构主义解释产生的数学背景
众所周知，由于以往的数学柏拉图主义解释的策略是先验的哲学论证，其目标是以哲学为基点试图给数学提供一种说明，这种哲学→数学式的说明方式无法刻画数学实践的变革，因此需要哲学家们从数学本身出发对其进行说明，其思路的指向是数学→哲学式的。由此，只有当结构主义的哲学说明符合数学实践时，它才有可能令人满意。的确，数学哲学中结构主义的兴起有其现实的数学背景。
(一)数学“结构主义”观念兴起的背景
20世纪以前，人们普遍认为数学研究各种具体的数学对象及其性质，并按照研究的对象对数学进行分类。比如，算术研究自然数;代数研究方程;几何研究空间和图形;分析研究函数。到19世纪末，经典数学仍然是几何、代数和分析三大领域。数学家们处理的对象与人们的实际生活密切相关。自然数通常被用来对特定的物体集合进行计数;几何是在人们测定物体的长度或两个物体之间的距离、测量土地的面积以及计算容器体积的现实需要中产生的;自然科学研究的运动中涉及的各种变化着的量之间的依赖关系激发了数学中变量和函数概念的诞生。事实上，数学家关注的对象同实际演算和生活中所用的东西具有相同的名称:数、几何图形、量，数学家们可以通过定义对其进行刻画。数学研究的就是这些作为个体的数学对象、它们的性质以及这些对象之间的相互关系。
与经典数学时期不同，“19世纪是数学的一个分水岭。”［1］148许多新的学科出现:代数数论、代数几何、微分几何、群论、拓扑学、函数空间等。它们研究的对象与经典的数学对象截然不同，“它们不再能用人们感官所能感知的‘形象’来表示”［2］。最典型的例子就是几何学，经典数学时期的几何学被认为研究空间和各种具体图形(比如，欧几里得几何学定理借助于人们的“几何直观”和图形加以证明);与此不同，19世纪的几何学研究的是更抽象的结构(比如，希尔伯特的几何学只靠公理就可以完成欧几里得全部定理的证明)。此外，经典数学时期的代数研究具体的数与数之间的运算关系:像加法、乘法等;19世纪的抽象代数不仅研究具体的数，而且研究一般的、更为抽象的元素，它们既可以是向量、函数，又可以是矩阵、变换等。这些元素之间的运算关系被推广为类似“加法”的“合成”关系，从而抽象代数的核心成为研究这些由公理刻画的结构系统，而不再是任意具体的对象。
由上述分析可知，研究结构的思维方式正在取代研究具体对象的思维方式。可见，对这个时期而言，“在一种数学理论中，起着根本作用的是所涉及的数学对象之间的关系，而不是这些对象的本性;因此在两个很不相同的理论中，却可能用相同的方式表述两者各自的关系。这些关系及其推论的系统形成一个隐藏在这两种理论深处的同一结构。”［2］恰好，“正是由于这种方法(数学结构)，才把理论的深入分析和重组理论的公理化综合起来，把表面上完全不同的问题联系起来，从而明白地显示出数学在本质上的统一性，而以前把数学表面上分成代数、几何或分析到今天已经过时。”［3］100也就是，传统的数学分类已经不能准确地刻画19世纪、特别是20世纪以来纯粹数学的根本特性。用“公理化方法”和“结构”的概念对数学进行重新分类成为数学发展的一种迫切要求。
总之，“结构主义”观念在20世纪成为数学家们一种非常时髦和实用的思考方式。它对数学进展的影响如此深刻，以至在这种总的趋势要求下，以布尔巴基为代表的数学结构主义最终出现了。
(二)布尔巴基的“结构主义”
基于上述思想，法国的数学家们发起了一场数学结构主义运动，旨在用“结构”的观念统一数学。布尔巴基学派这个数学家集体于1935年正式确立，他们主张数学的研究对象是“数学结构”，而不是表面上显示出的各种具体对象:比如，数、集合、函数等。他们宣称:
这里，我们采用一种“朴素”的观点，不再讨论由数学的“存在(beings)”或“对象(objects)”的“本质”问题而引起的处于哲学和数学问题之间的那些棘手问题。集合的概念，…长期以来被认为是“初始的”或者“不定义的”，由于其极端普遍性的特性，……，结果就成为无休止争论的主题;……，只有当集合自身的概念(以及那些关于数学“存在”的所有形而上学的伪问题)消失了，这个困难才能消失;在这个新的概念中，适当地说，数学结构就成为数学唯一的“对象”。［4］
布尔巴基把数学中的结构分为三大类:代数结构(群、环、域)，序结构(偏序、全序)和拓扑结构(极限、连续性、连通、邻域)。我们来看一个具体的拓扑结构的例子———度量空间:
度量空间是由某种称为“点”的对象构成的集合G，G中的点之间有一种关系d，我们称之为距离，即对于集合G中的任意两点x，y，都有一个非负实数与之对应。并且，距离d满足下述三条公理:
(1)d(x，y)=0，当且仅当，x=y;
(2)d(x，y)=d(y，x);
(3)d(x，z)≤d(x，y)+d(y，z)。
显然，3－维欧几里得空间就是一个度量空间。此外，还有许多的函数空间也是度量空间。由上述例子可知，刻画一个特定的数学结构由相应的公理确定。这充分说明“‘结构’这一概念无疑是数学中公理化方法广泛使用的一个结果。…‘结构’指的是由公理所描述的一类数学对象。”［5］176－179并且，对布尔巴基而言，结构被赋予一个特定的集合。因此，集合论成为布尔巴基“结构”概念的基础。随着抽象化程度的提高和数学领域的扩展，“结构”概念甚至可以不依赖集合而被刻画。这就是把结构自身作为其研究对象的“范畴论”。
(三)“数学结构”的当代发展:范畴论
我们注意到，在前述布尔巴基“结构主义”运动倡导的统一数学的精神下，结构概念的提出使数学家们期待寻求一种保持结构不变的映射，并且按照这种映射对数学重新分类。事实上，“不同类型的数学结构的概念确实提供了组织并理解数学的一种有效手段。”［5］180比如，两个群之间保持结构的映射就有“同态”和“同构”。现有两个群:G1=(G1，*)，G2(G2，)。映射h∶G1→G2被称为一个群同态，如果对所有的a，b∈G1，h(a*b)=h(a)h(b)(“积的象=象的积”)是有效的。如果一个群同态h还是一个双射，那么h就被称为一个群同构，我们就说G1和G2彼此同构。这样，同构的群就具有相同的结构，只是结构中的元素概念不同而已。［6］
数学家麦克莱恩(Saunders Mac Lane)意识到，公理化方法不仅可以用来描述各种数学结构中对象之间的关系，而且，我们完全可以用它刻画那些本身就是结构的数学对象。比如，考虑实数的加法群(R，+)和正实数的乘法群(R+，×)，这两个群同构，(R+，×)到(R，+)上的同构映射为x|→logax(a＞1)，因为loga(xy)=logax+logay。鉴于数学本身的抽象性，数学家们自然有一种把(R，+)和(R+，×)也作为对象进行研究的想法。也就是，我们可以研究由所有群构成的类，并且用群同态考察这些不同群之间的关系。这样，同态被数学家们在新的范畴中进行推广得到“态射”(morphism)。态射是两个数学结构之间保持结构的一种更抽象的关系(注意:这个关系可以不是映射)，更准确地说，态射是拥有同一结构的一个模型到另一个模型的关系。这个新的范畴就是由美国数学家艾伦伯格(Samuel Eilenberg)和麦克莱恩1945年创立的一门新学科———范畴论(Category Theory)。
“一个范畴可以被认为是由对象和这些对象之间的映射一起构成的，这些对象具有一个特定类型的结构，并且它们之间的映射保持这种结构。比如，拓扑空间和这些拓扑空间之间的连续映射就形成一个范畴，我们称为Top。类似地，群范畴(Groups)是由群和群同态构成的范畴，集合范畴(Sets)是由集合和集合之间的函数构成的范畴。”［7］按照麦克莱恩的观点，“一个范畴是由一个特定类型T的结构的所有模型和这些模型之间的态射一起形成的。一个范畴由对象(模型)和箭矢(态射)构成。”［5］181根据范畴的定义，某种特定的数学结构可以成为范畴论研究和处理的对象。
总之，范畴论在20世纪后半叶为数学家们提供了理解数学的一种新框架。在这种新工具的指导下，现代数学的面貌已经完全不同于经典数学的旧图景。数学家们的注意力从研究特定的具体对象及其性质转移到了关注这些对象背后隐藏的更深刻的一致性，也就是它们共有的结构。无疑，数学本身的变革使数学家们重新思考究竟什么是数学的本质;同时，这也从根本上激发了哲学家们试图从结构的观点重新探索数学的本体论、认识论和方法论等问题的动机和信心。在此背景下，作为一种数学哲学的结构主义的出现已不可避免。
二 先物结构主义解释的哲学动机
毫无疑问，20世纪数学中的布尔巴基结构主义和范畴论的发展为数学哲学家们从结构的视角重新审视数学的本质提供了坚实的数学基础。数学结构主义者主张数学是研究结构的科学。但对数学哲学家而言，只作出上述断言仍然不是最根本的目标。因为从事实际研究的专业数学家同样注意到数学核心的转变，是数学家而不是哲学家首先意识到数学的深刻本性在于结构，而非个体的数学对象。这样一来，哲学家就需要为数学实践提供一种更加细致且充分的说明。
根据数学实践，对数学结构可以有两种理解。比如，(1)前述群的例子中，我们有实数的加法群(R，+)和正实数的乘法群(R+，×)等;同样，这些具体的群还有一个共同的抽象结构:(G，*)。(2)对自然数结构而言，冯·诺伊曼序数(ω1={Ø，{ Ø }，{Ø，{Ø}}，{Ø，{Ø}，{Ø，{Ø}}}，…})、策梅洛数(ω2={Ø，{Ø}，{{Ø}}，{{{Ø}}}，…})或者还有其他满足自然数条件的集合论结构都是具体的、用集合论语言加以刻画的自然数;同时，它们都共有一个由自然数结构的公理所刻画的抽象结构(记为ω:ω={0，1，2，3，…})。这样，数学家和哲学家们需要确定:群论研究的核心究竟是那些一个个不同的、具体的群结构，还是它们所共有的所谓抽象的“群”结构?算术研究的是像冯·诺伊曼序数和策梅洛数这样具体的自然数，还是它们共有的由抽象公理刻画的自然数?
如果我们把上述这些具体的例子都称之为系统或模型①，而把它们共有的由抽象公理刻画的称之为结构，那么对上述问题的回答就有两种答案。第一，认为数学研究的核心是抽象结构;第二，主张数学研究的核心是具有抽象结构形式的模型或系统。这样就形成了哲学上结构主义的两种不同版本，前一种被称为“先物结构主义”(ante rem structuralism);后一种被称为“在物结构主义”(In re structuralism)或消除结构主义(eliminative structuralism)。这种划分思想源于柏拉图和亚里士多德关于“共相”的传统争论:
按照柏拉图，共相先于或独立于任何可以作为其实例的物体或对象而存在。即使没有红的对象，红的形式(form)将仍然存在。这种观点有时被称为“先物实在论”(ante rem realism)，这样，共相就被解释为“先物共相”(ante rem universals)。与此相对照，亚里士多德认为，共相在本体论上依赖于它们的实例。…所有红的事物消除了，红色就随之而去了。……经过这种解释的形式被称为“在物共相”(in re universals)，并且这种观点有时被称为“在物实在论”(in re realism)。这种观点的倡导者可能勉强承认共相存在，但是他们否认共相独立于其实例而存在。［8］84
伴随数学中“结构主义”运动的影响，先物结构主义者夏皮罗(Stewart Shapiro)一方面希望他的哲学解释能符合数学实践，宣称数学是结构的科学;另一方面他也希望给出数学本质的一种形而上学断言，说明数学是实在的。由此，夏皮罗形成了自己独特的数学本质的“先物结构主义”说明。具体的哲学动机如下:自贝纳塞拉夫以数学实践为基础，从结构的视角对传统数学柏拉图主义说明提出批判以来，夏皮罗也意识到数学实践在哲学说明中所起的重要作用。他详尽考察了几何学的发展历程，以期表明几何学从研究现实的物理空间到研究抽象结构的转变如何为结构主义的哲学解释提供数学上的支持。他在弗雷格和希尔伯特关于几何学本性、数学公理、数学定义等的争议中认识到，一方面，数学研究抽象结构，所谓的数学对象是相对于结构而言的;另一方面，数学必定有所断言，即数学有主题和内容。
首先，几何学的历史印证了数学是研究结构的科学。在夏皮罗看来，当数学家和物理学家们在探索现实的物理空间究竟是欧几里得空间还是非欧几里得空间时，非欧几何的真实性推动了人们关于“几何学是对独立的先物结构进行研究”［8］150的崭新观念。具体而言，在欧氏几何盛行的时代，几何学家们认为他们的主题是现实的物理空间，他们关注的是物体的几何形状。因此，传统的几何学被看做是研究空间的科学。与此相应的哲学解释认为，“(几何学)公理应该表达真理，定义应该给出特定术语的意义，并固定这些术语的指谓。”［8］161比如，在欧几里得的《几何原本》中，“点”、“线”、“面”和“圆”等都通过定义被赋予了意义。像“点被定义为没有部分的东西”和“线是没有宽度的长度”等都是这样被赋予特定意义的。因而，人们能在直观上理解并把握这些概念或对象。
直到19世纪非欧几何的出现，这种经典解释才受到质疑。希尔伯特公理化的《几何基础》向人们表明，“几何学越来越不是空间或时空的科学，而更多的是关于特定结构的形式研究。”［9］63与欧氏几何不同，语词“点”、“线”和“面”的意义在《几何基础》中并没有被预先给定，而是通过“隐定义”的方式确定，也就是通过公理来定义。希尔伯特认为，“一个概念仅通过它与其他概念之间的关系就可以在逻辑上被确定。这些关系，在特定的陈述中被阐述，我称之为公理，这样就可以得到一种观点，即公理…就是这些概念的定义。”［1］164因此，“欧几里得关于点、直线和平面的定义，在数学上其实并不重要。它们成为讨论的中心，仅仅是由于它们同所选择的诸公理的关系。换句话说，不论是管它们叫点、线、面还是桌子、椅子、啤酒杯，它们都能成为这样一种对象:对它们而言，公理所表述的关系都成立。”［10］因此，依据几何学的公理化发展，夏皮罗得出几何学本质的适当的哲学说明应该是:几何学是研究没有具体实例的抽象结构的科学。
其次，数学一定有所断言，即数学有其特定的主题。这里需要明确，虽然夏皮罗同意希尔伯特关于几何学的形式化纲领，以支持“数学是研究结构的科学”这一哲学说明，但夏皮罗坚决抵制希尔伯特所提倡的“形式主义”规划。因为“形式主义”的核心思想主张:数学处理的是一堆无意义的符号，以致数学根本就没有自己的主题。正是在这个意义上，夏皮罗追随的是弗雷格，而不是希尔伯特。
鉴于上述理由，夏皮罗形成了他所谓的“先物结构主义”。这种解释既能说明数学是结构的科学，又能保证数学是实在的，数学有其特定的主题，这个主题就是独立存在的数学结构。一方面，夏皮罗继续秉承弗雷格－哥德尔－蒯因的数学柏拉图主义传统，认为像算术这样的数学理论是关于对象的———数———独立于物质世界和数学家而存在，数字是指称数的抽象单称词项。另一方面，夏皮罗又想避免传统数学柏拉图主义的本体论和认识论困境，试图努力给出数学对象的新解释。这种解释的核心把数学对象视为依附于特定的数学结构，这样，数学结构成为数学的核心，但又没有把数学对象抛弃掉。上述要领构成了“先物结构主义”的核心主张:“结构作为合法的研究对象独立存在。按照这个观点，一个特定的结构独立于任何作为其例子的系统而存在。让我们称这种观点为先物结构主义，它寻求的是对于共相的一种类似观点。像自然数这样的数学对象是这些结构中的位置。比如，数字就是指称真实对象的真正的单称词项，这些对象就是一个结构中的位置。”［1］149－150
三 数学本质的先物结构主义解释
基于数学实践和传统数学对象柏拉图主义遇到的挑战，先物结构主义一方面需要为数学本质提供符合数学实践的说明;另一方面需要克服传统本体实在论的解释困境，继续为数学的实在性进行辩护。为此，先物结构主义主张:数学的本质是结构，像数、集合、点这些作为个体的数学对象是数学结构中的位置，结构先于对象和例示它的系统存在。
(一)数学本体实在性的先物结构主义辩护
如前所述，弗雷格和希尔伯特的争议可以归结为数学家们关于数学本质的两种不同认识。首先，一种观点认为，像“群论”、“环论”、“域论”和“算术”这样的数学理论研究的是满足各自公理的系统。比如，一个群就是满足群公理的任何东西;一个环就是满足环公理的任何东西;一个自然数结构就是满足算术公理的任何东西。不存在诸如“群”、“环”或“自然数”这样的事物。从“点”、“直线”、“平面”和“桌子”、“椅子”、“啤酒杯”的论述中，可以看出，希尔伯特是这种观点的典型支持者。与此相反，弗雷格坚决否认这种解释的合法性。在他看来，“算术和几何有自己特定的主题，几何研究空间，算术研究自然数。并且公理表达(大概是不证自明的)有关该主题的真理。”［9］67我们能够推断，在弗雷格的意识中，“群”、“环”、“自然数”和“空间”等是既定存在的，即使他不承认“结构”的观念。
这样，弗雷格和希尔伯特之争就代表了两种对立。“对弗雷格而言，算术和几何学公理是断言的(assertory);对希尔伯特而言，算术和几何学公理是代数的(algebraic)。断言的语句是要表达具有固定真值的命题。代数语句是示意性的，适用于满足特定的给定条件的任何一个对象系统。”［9］67在此背景下，夏皮罗试图使先物结构主义在数学理论的代数解释和断言解释之间架起桥梁。
为此，夏皮罗首先提出“位置即对象”(places－are－objects)的解释说明数学是断言的，即数学有自己的主题、数学是实在的。他声称:“如果一个数学分支的公理是可满足和范畴的，那么公理就刻画了一个(单一的)结构，并且公理对于该结构为真，或真实地描述了这个结构。我把这称之为‘位置即对象’观点。”［9］67按照这种观点，数是真正的对象，自然数的本质在于它是自然数结构中的位置。比如，3这个数就是自然数结构中的第3个位置。“3”是单称词项，其指称对象是3。这样，“位置即对象”的观点支持弗雷格数学柏拉图主义的论题:数是对象。不过，与弗雷格不同的是，夏皮罗认为“算术是关于自然数结构的，它的论域由这个结构中的位置构成。”［8］83由此可见，结构先于对象而存在。“结构先于它所包含的数学对象，就像任何机构先于构成机构的办公室一样。自然数结构先于2，就像棒球运动的防守先于游击手和美国政府先于副总统一样。”［8］78因此，对夏皮罗而言，自然数结构是算术的核心。“一个自然数的本质在于它和其他自然数的关系。……，2这个数恰好是自然数结构中的第2个位置。2不能独立于结构而存在，也不能独立于结构中的其他位置而存在。这样，2的本质就是0的后继的后继，3的前导，第一个素数等等。”［8］72
简言之，“位置即对象”的观点既能坚持数学对象的实在性，又能坚持数学是结构的科学。总体来讲，夏皮罗的数学实在论是一种结构柏拉图主义，它较弗雷格的数学对象柏拉图主义更灵活。因为，弗雷格坚持认为存在一个确定的、永恒的数学领域等待人们去发现，而夏皮罗主张数学对象只相对于结构。这样，夏皮罗结构主义的解释就具有本体论的相对性，而弗雷格的解释在本体论意义上是绝对的。
值得指出的是，当夏皮罗声称:作为数学主题的抽象结构独立于数学家们存在时，他陷入了与弗雷格一样的本体论和认识论的困境。并且，所谓的“抽象结构独立于其实例系统存在”的哲学说明也存在困难。从数学实践的角度看，对自然数结构来说，自然数的历史早于其实例系统(冯·诺伊曼序数和策梅洛数)的历史。在这个意义上，自然数结构独立于冯·诺伊曼序数和策梅洛数。与此相反，对群论系统而言，我们很难说存在一个独立于具体实例系统的抽象的群。显然，这样的“群”是很难想象的，历史地看，它只不过是各种群系统的抽象形式而已。当我们声称“群独立于具体的群系统存在”时，就像在说“树独立于橡树、杨树、柳树……存在”一样不合理。这样，“位置即对象”的数学实在论的结构主义解释依然是不充分的。这就要求夏皮罗继续寻求一种符合数学实践的结构主义说明。
(二)“数学本质即结构”的先物结构主义解释
当夏皮罗声称“数学是研究抽象结构的科学”时，他并没有彻底抛弃以下信念:一些真实的数学理论同样也是关于具有结构的各种不同系统的。这时，他采取一种“位置即办公室”(places－are－of-fices)的策略对此进行说明。比如，当我们同时谈到冯·诺伊曼的集合论系统、策梅洛的集合论系统和自然数结构时，该结构中的第2个位置，即2这个数就充当一种办公室的作用，而冯·诺伊曼的2和策梅洛的2就相当于在此办公室工作的职员。
按照“位置即办公室”观点，“群论研究的不是一个单一的结构，而是一类结构，是那些具有一个二元运算，一个恒等元和每一元的逆元的对象集所共有的模式。”［8］73如果我们用共相的观点作类比，这就相当于当我们在研究“国家”时，并非研究一个纯粹的、抽象的“国家”，而是研究像中国、美国、英国、俄罗斯等这些具有国家的共同特征的非常具体的、作为个体的国家。从“位置即办公室”的观点看，作为办公室的“位置”与作为填充办公室位置的“对象”截然不同。作为办公室的“位置”只是作为填充办公室位置的那些具体系统中的“对象”的一种抽象或概括。比如，关于自然数结构的算术陈述“3+9=12”就被视为一种抽象的概括，也就是，“在任何一个自然数系统S中，S中第3个位置上的对象S－加上S中第9个位置上的对象就导致了S中第12个位置上的对象。”［8］85这里的3、9和12是自然数结构中的位置，而冯·诺伊曼系统中的对象{Ø，{Ø}，{Ø，{Ø}}}和策梅洛系统中的对象{{{Ø}}}则是分别占据自然数结构中第3个位置的两个不同对象。同样，群定义中的运算和公理都是各种不同的群系统所共有的特征的一种抽象形式。这样，根据“位置即办公室”的观点，“一个结构中的位置更像是性质而不是对象”［11］。
这样，按照夏皮罗提出“位置即对象”和“位置即办公室”的观点，他认为这两种视角能解决著名的弗雷格的“凯撒难题”(“凯撒是否等同于一个特定的数”的同一性难题)。具体来看，3是自然数结构中的第3个位置，{Ø，{Ø}，{Ø，{Ø}}}和{{{Ø}}}是占据自然数结构中第3个位置的两个不同对象;但是，凯撒既不是自然数结构中的位置，也不是填充该结构中特定位置的对象。因此，像“凯撒是否等于2”的问题就是无意义的，或者说，这样的同一性陈述为假。显然，夏皮罗所谓的“同一性”标准有其成立的条件，该条件正是同一性所依赖的结构，这样只有结构才是数学的核心。
此外，“位置即对象”和“位置即办公室”的策略还解决了由贝纳塞拉夫向传统数学柏拉图主义提出的本体论困惑，并且给出数学中有关自然数、冯·诺伊曼序数以及策梅洛数之本质的一种新颖的哲学解释。具体而言，贝纳塞拉夫通过对象的同一性标准，论证了数不是集合，从而根本不是对象。不过，数学实践表明自然数确实是集合，而且还是有限冯·诺伊曼序数。基于这样的数学事实，一方面，夏皮罗并不否认自然数是有限冯·诺伊曼序数。在他看来，“2是{Ø，{Ø}}”中的“是”并非“同一性”的象征，它只是一个谓词。他认为，同一性的“是”(is)和谓词的“是”不同。从“位置即对象”的观点看，“是”具有同一性的功能;从“位置即办公室”的观点看，“是”充当谓词。比如，在“7是小于10的最大素数”的陈述中，这里的7是对象，“是”的含义为“等同于”;而在“{{Ø}}是2”和“{Ø，{Ø}}是2”的陈述中，这里的2是办公室，“是”的功能为谓词。因此，夏皮罗认为当数学家们宣称“自然数是有限冯·诺伊曼序数”时，他们只是出于方便，选取众多系统中的冯·诺伊曼的集合论系统作为自然数结构的范例。事实上，策梅洛系统中的{{Ø}}同样能起到自然数2的作用。根据这种解释，在“自然数是有限冯·诺伊曼序数”的陈述中，自然数是抽象结构中的位置，而有限冯·诺伊曼序数则是作为该结构的例子的系统中的对象，它们是两个不同层次上的概念，因而不具有同一性。
总之，夏皮罗运用“位置即对象”和“位置即办公室”的策略巧妙地为自然数、冯·诺伊曼序数和策梅洛数的本质提供了解释。在他看来，自然数是位置，冯·诺伊曼序数和策梅洛数是对象;前者充当办公室的功能，后者是填充办公室位置的具体对象。因此，在同一性的意义上，我们不能宣称:“2是{{Ø}}”或“2是{Ø，{Ø}}”，但是，在“是”作为谓词的意义上，我们完全能断定“2就是{Ø，{Ø}}”。
四 先物结构主义解释的困境
通过上述分析，“位置即对象”和“位置即办公室”的解释策略似乎既能符合真实的数学实践，又能克服传统数学柏拉图主义和贝纳塞拉夫本体论解释的自身局限，难怪夏皮罗自豪地宣称:“先物结构主义是当代数学的最明晰的说明。”［8］11
但是只要我们细致分析，就会发现先物结构主义存在着不可避免的自身缺陷。
首先，当夏皮罗对数学的本质给出一种实在论的结构主义解释时，他无疑承诺了存在着一些独立的数学结构和作为其例子的系统的对象(即各种不同系统的背景本体论)。比如，夏皮罗虽然赞成2可以被定义为{Ø，{Ø}}，但是，这并不是在同一性的意义上被言说的，“2是{Ø，{Ø}}”中的“是”只是一个谓词。这实际上表明，在夏皮罗的意识中，2和{Ø，{Ø}}在本体论意义上是两种不同的数学对象，并且这两种对象都存在。虽然数学对象在本质上依赖于数学结构，但最终夏皮罗还是断言了数学对象存在。所以，先物结构主义解释依然无法逃脱传统数学柏拉图主义的认识论劫难。
其次，先物结构主义主张算术研究自然数结构，一个自然数的本质就是它在自然数结构中的位置。根据数学实践，位置可以进一步被理解为“对象”或“办公室”。比如“7是小于10的最大素数”中的7是对象，“2是{{Ø}}或2是{Ø，{Ø}}”中的2则充当办公室的作用。作为结构中位置的自然数究竟被理解为“对象”还是“办公室”取决于具体的数学实践。因此，按照“位置即对象”和“位置即办公室”的观点，作为位置的自然数的本质是相对的。应当注意到，先物结构主义解释依据的前提是数学实践，但数学实践告知我们，自然数是有限冯·诺伊曼序数，不能被表示为策梅洛数。这是因为:策梅洛数只满足自然数的序列条件(算术条件)，而不满足对应条件(基数条件)。包括哈密顿(Hamilton)、斯科特(Scott)和艾森伯格(Eisenberg)等在内的大量数学家都以良序原理为基础，把自然数定义为有限冯·诺伊曼序数，并且标准的集合论著作和教科书中都采用了这样的定义。［12］因此，“2是{{Ø}}还是{Ø，{Ø}}?”的问题被消解了，从而先物结构主义对自然数本质的“位置即办公室”的解释也可以随之消解。此外，先物结构主义主张的“数学是研究结构的科学”并不能涵盖所有数学分支，数论、集合论和解析函数等很难看做是对结构的研究。
第三，数学家们在其数学实践的研究中并不关心“数学对象究竟是什么”这种形而上学的本体论问题。在他们看来，不是数学对象，而是数学对象的性质、它们之间的关系和一些模型才是最重要的。因此，像夏皮罗这样的结构主义者在本体论意义上明确断言“存在着独立的数学结构和数学对象”，并且在形而上学的框架中探讨诸如“2是否等同于{Ø，{Ø}}”这样的问题显然为真实数学提供了一个明确的哲学定位。但是，这种定位与真实的数学实践并不完全一致。英国剑桥大学的鲍尔(RouseBall)数学教授和菲尔兹奖获得者高尔斯(W．T．Gowers)表明，数学家给出的说明与夏皮罗的解释互不相容。比如，对有序对的定义(x，y)={{x}，{x，y}}而言，“假定，有序对能被还原为集合论，但这与人们说一个有序对‘实际上’是一种有趣的集合有所不同。(那个观点明显是错的，既然存在许多不同的集合论构造能对该项工作做得同样好。)”［13］因此，对于把复数定义为实数的有序对、把自然数定义为有限冯·诺伊曼序数而言，重要的不是承诺了一个新的数学本体论，而是探讨它们具有什么样的性质或满足什么样的公理规则。由此可知，“自然数是有限冯·诺伊曼序数”这个数学事实或许根本没有承诺两种不同的本体论，而仅仅是构造了自然数的一种集合论模型。
综上所述，就数学的研究对象是抽象结构而言，先物结构主义的解释是有缺陷的。“数学的研究主题都可以还原成结构”既没有得到全部数学实践的支持，“抽象的数学结构存在”同样没有得到令人信服的认识论说明。
五 结语
总体而言，数学本质的先物结构主义解释是基于数学实践和为捍卫数学的实在性而建立起来的一种新的数学实在论进路。按照先物结构主义的观点，数学是结构的科学，结构先于结构中的位置存在。“位置即对象”和“位置即办公室”的解释表明数学对象不具有独立性，而是相对于特定的结构。通过上述分析，我们已经说明先物结构主义对数学本质的解释并未获得成功，数学实践和哲学上认识论说明的要求使得先物结构主义者必须重新反思。事实上，并不存在一种绝对的关于数学本质的哲学解释，我们对“数学本质究竟是什么?”的哲学说明本身就随数学实践的不断发展而变化，并且这种说明还必须和我们人类整体的科学认识相容。
虽然先物结构主义解释有其自身的不足，但是，我们不能否认先物结构主义对于推进当代数学哲学发展的重要意义。一方面，它引起了数学哲学家们对数学实践的重视，只有基于数学实践的哲学说明才是重要和有趣的，也只有符合数学实践的哲学说明才是合理的，这种倾向对今后数学哲学发展的趋势产生了重要影响;另一方面，先物结构主义背后隐含的“数学实践和数学哲学之间的关系”问题是数学哲学的一个元理论问题。在某种意义上，它直接决定着哲学家们具体的哲学立场，对数学哲学的发展具有先导性作用。因此，这些问题无疑是当代数学哲学需要持续关注的重要课题。
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